ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52422
Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Биссектриса делит дугу пополам ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC стороны AC и BC не равны. Докажите, что биссектриса угла C делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины C, тогда и только тогда, когда $ \angle$C = 90o.


Подсказка

Пусть H, Q, M — точки пересечения продолжений высоты, биссектрисы и медианы с описанной окружностью. Тогда HM || AB.


Решение

Пусть T — середина AB. Опишем окружность около треугольника ABC. Продолжения высоты, биссектрисы и медианы пересекают эту окружность в точках H, Q и M соответственно.

Необходимость.

Поскольку дуги AH и MB равны, то HM || AB. Поэтому $ \angle$CHM = 90o и CM — диаметр окружности. Поскольку точки Q и T равноудалены от концов отрезка AB, то QT — серединный перпендикуляр к стороне AB, поэтому T — центр окружности. Следовательно, AB — также диаметр.

Достаточность.

Пусть угол C — прямой. Тогда CM — диаметр, угол CHM — прямой. Поэтому HM || AB. Отсюда следует, что

$\displaystyle \cup$ AH = $\displaystyle \cup$ MB$\displaystyle \angle$ACH = $\displaystyle \angle$MCB.

Поэтому $ \angle$HCQ = $ \angle$MCQ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 84
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 2
Название Вписанный угол
Тема Вписанный угол
параграф
Номер 7
Название Биссектриса делит дугу пополам
Тема Биссектриса делит дугу пополам
задача
Номер 02.065

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .