Треугольник ABC вписан в окружность. Точка D — середина дуги AC, точки K и L выбраны на сторонах AB и CB соответственно так, что KL параллельна AC. Пусть K' и L' — точки пересечения прямых DK и DL соответственно с окружностью. Докажите, что вокруг четырехугольника KLL'K' можно описать окружность.

   Решение

Тема:    [ Вписанный угол (построения) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведенным из одной вершины.

Решение

Предположим, что треугольник ABC построен, AH — высота, AD — биссектриса, AM — медиана. Согласно задаче 2.67 точка D лежит между M и H. Точка E пересечения прямой AD и перпендикуляра, проведенного из точки M к стороне BC, лежит на описанной окружности треугольника ABC. Поэтому центр O описанной окружности лежит на пересечении серединного перпендикуляра к отрезку AE и перпендикуляра к стороне BC, проведенного через точку M.
Последовательность построений такова: на произвольной прямой (которая в дальнейшем окажется прямой BC) строим точку H, затем последовательно строим точки A, D, M, E, O. Искомые вершины B и C треугольника ABC являются точками пересечения исходной прямой с окружностью радиуса OA с центром O.

Источники и прецеденты использования