Из точки M внутри четырёхугольника ABCD опущены перпендикуляры на стороны. Основания перпендикуляров лежат внутри сторон. Обозначим эти основания: то, которое лежит на стороне AB — через X, лежащее на стороне BC — через Y, лежащее на стороне CD — через Z, лежащее на стороне DA — через T. Известно, что AX ≥ XB, BY ≥ YC, CZ ≥ ZD, DT ≥ TA. Докажите, что вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

   Решение

Основание пирамиды – квадрат. Высота пирамиды пересекает диагональ основания. Найдите наибольший объём такой пирамиды, если периметр диагонального сечения, содержащего высоту пирамиды, равен 5.

   Решение

Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.

   Решение

Темы:    [ Четность перестановки ] [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., n. За один ход разрешается поменять местами любые два числа.
Может ли после 1989 таких операций порядок чисел оказаться исходным?

Решение

  Каждая пара  (a, b)  чисел может находиться в двух состояниях: правильном, когда меньшее число стоит левее, и неправильном, когда меньшее число стоит правее. Если между числами a и b стоит ровно k чисел, и мы поменяем a и b местами, то ровно  2k + 1  пара поменяет свое состояние: сама пара  (a, b)  и все пары, содержащие одно из чисел a, b и одно из k промежуточных чисел. Поэтому каждая операция меняет четность числа неправильных пар.
  В начале все пары были правильными. Значит после 1989 операций число неправильных пар станет нечётным. Следовательно, полученный ряд чисел не совпадает с исходным.

Ответ

Не может.

Замечания

1. Ср. с задачей 30311.

2. Мы фактически воспроизвели доказательство известного факта: транспозиция меняет чётность перестановки. На него, конечно, можно просто сослаться.

Источники и прецеденты использования