Задача 107751

Темы:    [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Обратный ход ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Ковальджи А.К.

Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.

Решение

  1^o. Представим себе, что квадрат, в вершинах которого сидят кузнечики — это квадрат клетчатой бумаги (размер квадрата — 1×1). Заметим, что кузнечики всегда прыгают по вершинам клеток: если на клетчатой бумаге поместить кузнечиков в вершины клеток (эти вершины называются узлами квадратной сетки), то после каждого прыжка каждый кузнечик снова попадет в некоторый узел квадратной сетки (рис.). Дело в том, чтопрыжок эквивалентен центральной симметрии одного кузнечика относительно другого, а квадратная сетка центрально симметрична относительно любого своего узла.

2^o. Предположим, что кузнечики сумели попасть в вершины большего квадрата, тогда, прыгая в обратном порядке, они должны попасть в вершины меньшего. Но, начиная прыгать из вершин большего квадрата, они всегда будут попадать в узлы сетки, состоящей из больших квадратов. Иначе говоря, расстояние между ними не может быть меньше, чем сторона большого квадрата. Противоречие.

Комментарий. Если сначала кузнечики находились в вершинах произвольного параллелограмма, то они всегда будут прыгать по сетке из таких же параллелограммов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	57
Год	1994
вариант
Класс	8
задача
Номер	4
Кружок
Название	ВМШ 57 школы
класс
Класс	8
год
Год	1997/98
Место проведения	57 школа
занятие
Номер	2
Название	Четность
Тема	Четность и нечетность
задача
Номер	02