Пусть A₁...A_n — правильный n-угольник, X — произвольная точка. Рассмотрим проекции X₁, ..., X_n точки X на прямые A₁A₂, ..., A_nA₁. Пусть x_i — длина отрезка A_iX_i с учётом знака (знак плюс берётся в случае, когда лучи A_iX_i и A_iA_{i + 1} сонаправлены). Докажите, что сумма x₁ + ... + x_n равна половине периметра многоугольника A₁...A_n.

   Решение

Темы:    [ Степень вершины ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что существует граф с 2n вершинами, степени которых равны 1, 1, 2, 2, ..., n, n.

Подсказка

Используйте индукцию по n.

Решение

  Будем строить граф по индукции. База. Для  n = 1  такой граф существует: две вершины, соединённые ребром.
  Шаг индукции. Пусть граф с 2n вершинами и указанными степенями уже построен. Добавим к нему две вершины A и B. Вершину A соединим с n старыми вершинами со степенями 1, ..., n, а также с вершиной B. В результате у половины старых вершин степени не изменятся, у оставшихся – увеличатся на 1, степень A будет равна  n + 1,  а степень B будет равна 1. Это и есть искомый граф с  2n + 2  вершинами.

Источники и прецеденты использования