Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть l_A, l_B, l_C и l_D – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть l_P и l_Q – внешние биссектрисы углов соответственно A_PD и A_QB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через M_AC точку пересечения l_A и l_C, через M_BD – l_B и l_D, через M_PQ – l_P и l_Q. Докажите, что, если все три точки M_AC, M_BD и M_PQ существуют, то они лежат на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

При каких целых n число  n⁴ + 4  – составное?

Подсказка

n⁴ + 4 = n⁴ + 4n² + 4 – 4n².

Решение

  n⁴ + 4 = n⁴ + 4n² + 4 – 4n² = (n² + 2)² – (2n)² = (n² – 2n + 2)(n² + 2n + 2).
  Числа  n² + 2n + 2 = (n + 1)² + 1  и  n² – 2n + 2 = (n – 1)² + 1  больше 1 при  n ≠ ±1.  А при  n = ±1   n⁴ + 4 = 5.

Ответ

При  n ≠ ±1.

Источники и прецеденты использования