Информация о задаче

Задача 52391

Темы:	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке; M — середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд MC и MD с хордой AB через E и K. Докажите, что KECD — вписанный четырёхугольник.

Подсказка

$\angle$ AEC = ${\frac{1}{2}}$ ( $\cup$ MB + $\cup$ ADC).

Решение

Заметим, что

$\displaystyle \angle$ AEC = $\displaystyle {\frac{\cup MB + \cup ADC}{2}}$ , $\displaystyle \angle$ KDC = $\displaystyle {\frac{\cup MBC}{2}}$ .

Поскольку

$\displaystyle \cup$ MB + $\displaystyle \cup$ ADC + $\displaystyle \cup$ MBC = $\displaystyle \cup$ AM + $\displaystyle \cup$ ADC + $\displaystyle \cup$ MBC = 360^o,

то

$\displaystyle \angle$ AEC + $\displaystyle \angle$ KDC = 180^o.

Следовательно, около четырёхугольника KECD можно описать окружность.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	53