Дано 100 чисел a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀₀, удовлетворяющих условиям:
  a₁ – 4a₂ + 3a₃ ≥ 0,
  a₂ – 4a₃ + 3a₄ ≥ 0,
  a₃ – 4a₄ + 3a₅ ≥ 0,
    ...,
  a₉₉ – 4a₁₀₀ + 3a₁ ≥ 0,
  a₁₀₀ – 4a₁ + 3a₂ ≥ 0.
Известно, что  a₁ = 1,  определить a₂, a₃, ..., a₁₀₀.

   Решение

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведена высота AH, а из вершин B и C опущены перпендикуляры BB₁ и CC₁ на прямую, проходящую через точку A.
Докажите, что треугольники HB₁C₁ и ABC подобны.

Подсказка

Точки A, B₁, B, H лежат на одной окружности.

Решение

  Пусть треугольник ABC остроугольный. Поскольку точки B₁ и B лежат на окружности с диаметром AH, то  ∠C₁B₁H = ∠AB₁H = ∠ABH = ∠B.
  Аналогично  ∠B₁C₁H = ∠C.
  В случае, если треугольник ABC не остроугольный, доказательство существенно не отличается от приведённого.

Источники и прецеденты использования