Информация о задаче

Задача 53277

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность с центром в точке O, лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC, касается его катетов AB и BC. Найдите AC, если известно, что AM = ${\frac{20}{9}}$ , AN : MN = 6 : 1, где M — точка касания AB с окружностью, а N — точка пересечения окружности с AC, расположенная между точками A и O.

Подсказка

Обозначьте $\angle$ AOM = $\angle$ ACB = $\alpha$ . Выразите через $\alpha$ углы треугольника AMN и воспользуйтесь теоремой синусов.

Решение

Обозначим $\angle$ AOM = $\angle$ ACB = $\alpha$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ MAC = 90^o - $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ AMN = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$

(угол между касательной AM и хордой MN). По теореме синусов из треугольника AMN находим, что ${\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \alpha}}$ = 6. Из этого уравнения следует, что

sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ , cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{5}}{3}}$ , sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{4\sqrt{5}}{9}}$ .

Из треугольника AMO находим, что

MO = $\displaystyle {\frac{AM}{{\rm tg }\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{5}}{9}}$ .

Следовательно,

AC = $\displaystyle {\frac{AB}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{AM + MB}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{AM + MO}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{9\left(\frac{20}{9} + \frac{\sqrt{5}}{9}\right)}{4\sqrt{5}}}$ = $\displaystyle \sqrt{5}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ .

Ответ

$\sqrt{5}$ + ${\frac{1}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	972