Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников, вершины которых лежат на сторонах данного треугольника (по одной вершине внутри каждой стороны).

б) Найдите геометрическое место центров тяжести тетраэдров, вершины которых лежат на гранях данного тетраэдра (по одной вершине внутри каждой грани).

   Решение

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На дугах AB и BC окружности, описанной около треугольника ABC, выбраны соответственно точки K и L так, что прямые KL и AC параллельны.
Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABK и CBL равноудалены от середины дуги ABC.

Решение

  Если  AB = BC,  то утверждение очевидно.
  Пусть для определенности  AB < BC  (см. рис.).

  Обозначим через I₁, I₂ центры вписанных окружностей треугольников AKB и CLB соответственно, через P, Q– вторые точки пересечения прямых BI₁, BI₂ с описанной окружностью треугольника ABC, а через R– середину дуги ABC этой окружности. Тогда  PA = QC  как хорды, стягивающие половины равных дуг.
  Так как  ∠PAI₁ = ∠PAK + ∠KAI₁ = ∠PBK + ∠BAI₁ = ∠ABI₁ + ∠BAI₁ = ∠AI₁P,  то треугольник AI₁P равнобедренный, и  PA = PI₁.  Аналогично  QC = QI₂,  следовательно, PI₁ = QI₂.
  Далее,  PR = QR  как хорды, стягивающие равные дуги, а  ∠I₂QR = ∠I₁PR как углы, опирающиеся на одну дугу. Значит, треугольники RI₁P и RI₂Q равны по двум сторонам и углу между ними, и  RP = RQ.

Источники и прецеденты использования