Задача 67106

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ] [ Четырехугольники (построения) ] [ Окружность Аполлония ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Во вписанно-описанном четырехугольнике отметили центры $O$, $I$ описанной и вписанной окружностей и середину $M$ одной из диагоналей, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его.

Решение

Точка $L$ пересечения диагоналей четырехугольника лежит на прямой $OI$. Кроме того, $OM\perp ML$, что позволяет построить точку $L$. Пусть теперь $AB$ – диаметр описанной окружности, проходящий через $I$, а $C$ – точка описанной окружности такая, что $CL\perp AB$. Тогда $CO$, $CI$, $CL$ – медиана, биссектриса и высота прямоугольного треугольника $ABC$, Следовательно, $CI$ – биссектриса угла $OCL$. Это позволяет построить точку $C$ как пересечение перпендикуляра из $L$ к $OI$ и окружности Аполлония для точек $O$ и $L$, а значит, и описанную окружность. Наконец, заметим, что середина $N$ второй диагонали лежит на прямой $MI$ и окружности с диаметром $OL$, что позволяет построить вершины четырехугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
Заочный тур
задача
Номер	21 [10-11 кл]