Испанский король решил перевесить по-своему портреты своих предшественников в круглой башне замка. Однако он хочет, чтобы за один раз меняли местами только два портрета, висящие рядом, причём это не должны быть портреты двух королей, один из которых царствовал сразу после другого. Кроме того, ему важно лишь взаимное расположение портретов, и два расположения, отличающиеся поворотом круга, он считает одинаковыми. Доказать, что как бы сначала ни висели портреты, король может по этим правилам добиться любого нового их расположения.

   Решение

CM и BN – медианы треугольника ABC, P и Q – такие точки соответственно на AB и AC, что биссектриса угла C треугольника одновременно является биссектрисой угла MCP, а биссектриса угла B – биссектрисой угла NBQ. Оказалось, что  AP = AQ.  Следует ли из этого, что треугольник ABC равнобедренный?

   Решение

Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие 100 квадратных трёхчленов, что каждый из них имеет два корня, а сумма любых двух из них корней не имеет?

Подсказка

Графики квадратных трёхчленов могут совмещаться сдвигами на достаточно большие расстояния вдоль оси Ox.

Решение

Рассмотрим квадратные трёхчлены  f_n(x) = (x – 4n)² – 1  (n = 1, 2, 3, ...).  Очевидно, каждый из них имеет два действительных корня.  4n – 4m ≥ 4  при  n > m,  значит, при любом x либо  |x – 4m|,  либо  |x – 4n|  не меньше 2. Поэтому  f_m(x) + f_n(x) = (x – 4m)² + (x – 4n)² – 2 ≥ 2 > 0,  то есть квадратный трёхчлен
f_m(x) + f_n(x)  принимает только положительные значения.

Ответ

Существуют.

Источники и прецеденты использования