Информация о задаче

Задача 55043

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
Темы:	[	Отношения площадей	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC на стороне AC взята точка M, а на стороне BC — точка N. Отрезки AN и BM пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника CMN, если площади треугольников OMA, OAB и OBN соответственно равны s₁, s₂ и s₃.

Подсказка

Площади треугольников с равными высотами относятся как основания.

Решение

Обозначим S_MNC = q, S_OMN = s₄. Тогда

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABM}}{S_{\Delta MBC}}}$ = $\displaystyle {\frac{AM}{MC}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta ANM}}{S_{\Delta MNC}}}$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{s_{1} + s_{2}}{s_{3} + s_{4} + q}}$ = $\displaystyle {\frac{s_{1} + s_{4}}{q}}$ .

Отсюда находим, что

q = $\displaystyle {\frac{(s_{1} + s_{4})(s_{3} + s_{4})}{s_{2} - s_{4}}}$ ,

а так как

$\displaystyle {\frac{s_{2}}{s_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{OB}{OM}}$ = $\displaystyle {\frac{s_{3}}{s_{4}}}$ ,

то s₄ = ${\frac{s_{1}s_{3}}{s_{2}}}$ .

Следовательно,

q = $\displaystyle {\frac{\left(s_{1} + \frac{s_{1}s_{3}}{s_{2}}\right) \left(s_{3} + \frac{s_{1}s_{3}}{s_{2}}\right)}{s_{2} - \frac{s_{1}s_{3}}{s_{2}}}}$ =

= $\displaystyle {\frac{s_{1}s_{3}(s_{1} + s_{2})(s_{2} + s_{3})}{s_{2}(s^{2}_{2} - s_{1}s_{3})}}$ .

Ответ

$\displaystyle {\frac{s_{1}s_{3}(s_{1} + s_{2})(s_{2} + s_{3})}{s_{2}(s^{2}_{2} - s_{1}s_{3})}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3099