Даны уравнения  ax² + bx + c = 0   (1)    и – ax² + bx + c   (2).     Доказать, что если x₁ и x₂ – соответственно какие-либо корни уравнений (1) и (2), то найдётся такой корень x₃ уравнения  ½ ax² + bx + c,  что либо  x₁ ≤ x₃ ≤ x₂,  либо  x₁ ≥ x₃ ≥ x₂.

   Решение

Полтора землекопа выкопали за полтора часа полторы ямы. Сколько ям выкопают два землекопа за два часа?

   Решение

В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12- угольника?

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Два равносторонних треугольника ABC и CDE расположены по одну сторону от прямой AE и имеют единственную общую точку C. Пусть M, N и K – середины отрезков BD, AC и CE соответственно. Докажите, что треугольник MNK равносторонний.

Подсказка

Пусть P и Q – середины отрезков BC и DC соответственно. Докажите, что треугольники MPN и KQM равны.

Решение

  Пусть P и Q – середины отрезков BC и DC соответственно. Тогда  PN = PC = MQ,  PM = CQ = QK,  ∠MPN = ∠MPC + ∠CPN = 240° – α = ∠KQM.  Следовательно, треугольники MPN и KQM равны и  MN = MK.
  Кроме того, поскольку каждый из углов MNC и MKC меньше 60°, то  ∠NMK = ∠PMQ – ∠PMN – ∠QMK = α – ∠PMN – ∠PNM = α – 180° + ∠NPM = 60°.

Источники и прецеденты использования