Двое играют в следующую игру: первый выписывает в ряд по своему желанию буквы А или Б (слева направо, одну за другой; по одной букве за ход), а второй после каждого хода первого меняет местами любые две из выписанных букв или ничего не меняет (это тоже считается ходом). После того, как оба игрока сделают по 1999 ходов, игра заканчивается. Может ли второй играть так, чтобы при любых действиях первого игрока в результате получился палиндром (то есть слово, которое читается одинаково слева направо и справа налево)?

   Решение

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Признаки подобия ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC на высоте AD взята точка M, а на высоте BP – точка N так, что углы BMC и ANC – прямые. Расстояние между точками M и N равно  4 + 2,  угол MCN равен 30°. Найдите биссектрису CL треугольника CMN.

Подсказка

Поскольку MD и NP – высоты прямоугольных треугольников BMC и ANC, проведённые из вершин прямых углов, то   CM² = BC·CD = AC·CP = CN².

Решение

  Из подобия прямоугольных треугольников ACD и BCP следует, что  CD : AC = CP : BC,  откуда  BC·CD = CP·AC.
  Поскольку MD и NP – высоты прямоугольных треугольников BMC и ANC, проведённые из вершин прямых углов, то  CM² = BC·CD = AC·CP = CN²,  поэтому  CM = CN.
  Биссектриса CL равнобедренного треугольника CMN является его высотой и медианой, следовательно,
CL = ML ctg∠MCL = ½ MN ctg 15° = = (2 + )² = 7 + 4.

Ответ

7 + 4.

Источники и прецеденты использования