В шахматном турнире было 10 участников. В каждом туре участники разбивались на пары и в каждой паре играли друг с другом одну игру. В итоге каждый участник сыграл с каждым ровно один раз, причём не меньше чем в половине всех игр участники были земляками (из одного города). Докажите, что в каждом туре хоть одна игра была между земляками.

   Решение

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Одна из двух прямых, проходящих через точку M, касается окружности в точке C, а вторая пересекает эту окружность в точках A и B, причём A — середина отрезка BM. Известно, что MC = 2 и BMC = 45^o. Найдите радиус окружности.

Подсказка

Докажите, что треугольник BMC прямоугольный.

Решение

Обозначим AM = AB = x. По теореме о касательной и секущей BM ^. AM = MC², или 2x² = 4, откуда x = .

В треугольнике BMC известны стороны MC = 2, BM = 2x = 2 и угол между ними: BMC = 45^o. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетом, равным 2, и острым углом, равным 45^o. Его гипотенуза равна 2, значит, этот треугольник равен треугольнику BMC по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, треугольник BMC прямоугольный, BCM = 90^o. Тогда BC — диаметр окружности и BC = MC = 2.

Ответ

1.

Источники и прецеденты использования