Дано натуральное число $n > 1$. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число.

Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.

   Решение

Темы:    [ Метод ГМТ ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте точку, из которой две данные окружности были бы видны под данными углами.

Подсказка

Геометрическое место точек, из которых данная окружность видна под данным углом, есть окружность, концентрическая данной.

Решение

Докажем сначала, что геометрическое место точек, из которых данная окружность видна под данным углом, есть окружность, концентрическая данной.

Действительно, пусть данный угол равен , O — центр данной окружности, r — её радиус. Если из точки M данная окружность видна под углом , то OM — гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого — радиус, проведённый в точку касания с касательной, проходящей через точку M, а противолежащий острый угол равен . Следовательно, точка M лежит на окружности с центром в точке O радиусом . Легко доказать, что из любой точки этой окружности данная окружность видна под углом . Поэтому задача сводится к построению двух прямоугольных треугольников по катету и острому углу.

Источники и прецеденты использования