Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.

   Решение

Можно ли найти восемь таких натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на какое другое, но квадрат любого из этих чисел делится на каждое из остальных?

   Решение

Тема:    [ Треугольник (построения) ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник ABC по радиусу вписанной окружности r и (ненулевым) длинам отрезков AO и AH, где O — центр вписанной окружности, H — ортоцентр.

Решение

Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть B₁ — точка касания вписанной окружности со стороной AC. В прямоугольном треугольнике AOB₁ известны катет OB₁ = r и гипотенуза AO, поэтому можно построить угол OAB₁, а значит, и угол BAC. Пусть O₁ — центр описанной окружности треугольника ABC, M — середина стороны BC. В прямоугольном треугольнике BO₁M известны катет O₁M = AH/2 (см. решение задачи 5.105) и угол BO₁M (он равен A или  180^o - A), поэтому его можно построить. Затем можно определить длину отрезка  OO₁ = (см. задачу 5.11, а)). Итак, можно построить отрезки длиной R и OO₁ = d.
После этого возьмем отрезок AO и построим точку O₁, для которой AO₁ = R и OO₁ = d (таких точек может быть две). Проведем из точки A касательные к окружности радиуса r с центром O. Искомые точки B и C лежат на этих касательных, удалены от точки O₁ на расстояние R и, разумеется, отличны от точки A.

Источники и прецеденты использования