Куб с ребром n составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких n это возможно?

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $K$ – точка пересечения $BC$ с внешней биссектрисой угла $A$. Прямая $KI$ пересекает внешние биссектрисы углов $B$ и $C$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что $\angle BAX=\angle CAY$.

Решение

Пусть $I_a$, $I_b$, $I_c$ – центры вневписанных окружностей треугольника $ABC$. Тогда $I$ – ортоцентр треугольника $I_aI_bI_c$, а $I_aA$ – его высота. Точки $A$, $K$, $I_b$, $I_c$ образуют гармоническую четверку, значит четверка точек $I$, $K$, $Y$, $X$ и четверка прямых $AI$, $AK$, $AY$, $AX$ тоже гармонические. Поскольку $AI\perp AK$, то $AI$ – биссектриса угла $XAY$.

Источники и прецеденты использования