В треугольнике $ABC$ вписанная окружность $\omega$ касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно, $P$ – произвольная точка этой окружности. Прямая $AP$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $AB_1C_1$ в точке $A_2$. Аналогично строятся точки $B_2$ и $C_2$. Докажите, что описанная около треугольника $A_2B_2C_2$ окружность касается $\omega$.

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Через каждую вершину параллеллограмма проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не проходящей через эту вершину. Докажите, что диагонали четырёхугольника, образованного пересечениями четырёх проведённых прямых, перпендикулярны сторонам параллелограмма.

Подсказка

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Решение

  Пусть прямая, проходящая через вершину A параллелограмма ABCD с центром O перпендикулярно диагонали BD, пересекает прямую, проходящую через вершину D перпендикулярно диагонали AC, в точке P. Тогда P – точка пересечения высот треугольника AOD. Следовательно, третья высота этого треугольника лежит на прямой PO и  PO ⊥ AD.
  Аналогично точка Q пересечения двух оставшихся из указанных в условии прямых есть точка пересечения высот треугольника BOC. Значит,  QO ⊥ AD  и диагональ PQ полученного четырёхугольника (очевидно, это также параллелограмм) проходит через точку O. Следовательно,  PQ ⊥ AD.  Аналогично для второй диагонали.

Источники и прецеденты использования