В треугольнике $ABC$ $AA_1$, $CC_1$ – высоты, $P$ – произвольная точка на стороне $BC$. Точка $Q$ на прямой $AB$ такова, что $QP=PC_1$, а точка $R$ на прямой $AC$ такова, что $RP=CP$. Докажите, что четырехугольник $QA_1RA$ вписанный.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Через вершину C квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке K, а серединный перпендикуляр к стороне AB – в точке M (M между C и K). Найдите ∠DCK, если  ∠AKB = ∠AMB.

Подсказка

Докажите, что треугольник AMB равносторонний.

Решение

Поскольку  ∠AKB = ∠AMB,  то точки M, K, A и B лежат на одной окружности. Значит,  ∠MAB = ∠MKB = ∠AKB = ∠AMB,  поэтому  MB = AB,  а так как
MB = MA,  то треугольник AMB равносторонний. Следовательно,  ∠BKM = ∠AMB = 60°,  ∠DCK = ∠BKM – ∠KDC = 15°.

Ответ

15°.

Источники и прецеденты использования