Версия для печати
Убрать все задачи

---

Некоторые участники олимпиады дружат, и дружба взаимна. Назовём группу участников кликой, если все они дружат между собой. Их число называется размером клики. Известно, что максимальный размер клики чётен. Докажите, что участников можно рассадить по двум аудиториям так, что максимальные размеры клик в обеих аудиториях совпадают.

   Решение

---

У племени семпоальтеков было 24 слитка золота, 26 редких жемчужин и 25 стеклянных бус. У Кортеса они могут обменять слиток золота и жемчужину на одни бусы, у Монтесумы – один слиток и одни бусы на одну жемчужину, а у тотонаков – одну жемчужину и одни бусы на один золотой слиток. После долгих обменов у семпоальтеков осталось только одна вещь. Какая?

   Решение

Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любых натуральных a₁, a₂, ..., a_k таких, что , у уравнения не больше чем a₁a₂...a_k решений в натуральных числах. ([x] – целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x.)

Решение

Обозначим .

Предположим, что натуральное число n является решением уравнения из условия задачи. Пусть r_i – это остаток от деления n на a_i, иными словами, . Тогда

откуда .

Таким образом, при заданном наборе чисел (r₁, ..., r_k), удовлетворяющих условиям 0 ≤ r_i < a_i, может быть не более одного натурального решения n с таким набором остатков. Всего таких наборов ровно a₁a₂...a_k, поэтому и количество решений уравнения не больше a₁a₂...a_k.

Источники и прецеденты использования