Версия для печати
Убрать все задачи

---

В стране 2000 городов. Каждый город связан беспосадочными двусторонними авиалиниями с некоторыми другими городами, причём для каждого города число исходящих из него авиалиний есть степень двойки (то есть 1, 2, 4, 8, ...). Для каждого города A статистик подсчитал количество маршрутов, имеющих не более одной пересадки, связывающих A с другими городами, а затем просуммировал полученные результаты по всем 2000 городам. У него получилось 100000. Докажите, что статистик ошибся.

   Решение

Темы:    [ Площадь четырехугольника ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны и перпендикулярны, а две другие равны a и b. Найдите его площадь.

Решение

  Пусть  b > a.

  Первый способ. Обозначим длину двух равных сторон через x. Продолжим их до пересечения и обозначим длины двух получившихся коротких отрезков через y и z (рис. слева).

  Площадь S исходного четырёхугольника есть разность площадей двух прямоугольных треугольников: с катетами  x + y  и  x + z  и с катетами y и z. Поэтому  2S = (x + y)(x + z) – yz = x² + xy + xz.
  По теореме Пифагора  y² + z² = a²,  (x + y)² + (x + z)² = b².  Поэтому  b² – a² = 2x² + 2xy + 2xz = 4S.   Второй способ. Из четырёх таких многоугольников можно сложить квадрат со стороной b из которого вырезан квадрат со стороной a (рис. справа). Поэтому площадь одного многоугольника равна  ¼ (b² – a²).

Ответ

¼ |b² – a²|.

Замечания

Утверждение остаётся верным, даже если отказаться от условия выпуклости.

Источники и прецеденты использования