Решите систему
    y = 2x² – 1,
    z = 2y² – 1,
    x = 2z² – 1.

   Решение

В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом A первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше A и при этом стоят правее A. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д.
  а) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой – нулевые (состоят из сплошных нулей).
  б) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?

   Решение

Тема:    [ Переведем данную прямую на бесконечность ]

Сложность: 7 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любого нечетного n3 на плоскости можно указать 2n различных точек, не лежащих на одной прямой, и разбить их на пары так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки из разных пар, проходила бы еще через одну из этих 2n точек.

Решение

Пусть A₁...A_n — правильный n-угольник, l_i — прямая, содержащая его сторону, противоположную вершине A_i, B_i — точка пересечения прямой l_i с бесконечно удаленной прямой. Разобьем точки A₁,..., A_n, B₁,..., B_n на пары (A_i, B_i). Покажем, что это разбиение обладает требуемым свойством. Для этого нужно рассмотреть прямые B_iB_j, A_iA_j и A_iB_j (ij).
1) Прямая B_iB_j содержит все точки B₁,..., B_n. Поскольку n3, среди них есть точка, отличная от B_i и B_j.
2) Прямая A_iA_j параллельна одной из прямых l_k, поскольку число n нечетно. Следовательно, прямая A_iA_j проходит через точку B_k.
3) Если ij, то прямая, проходящая через вершину A_i параллельно прямой l_j, содержит некоторую вершину A_k, ki. Поэтому прямая A_iB_j проходит через точку A_k.
Применив к набору точек A₁,..., A_n, B₁,..., B_n проективное преобразование, можно добиться, чтобы все эти точки не были бесконечно удаленными.

Источники и прецеденты использования