В треугольнике ABC через O, I обозначены центры описанной и вписанной окружностей соответственно. Вневписанная окружность ω_a касается продолжений сторон AB и AC в точках K и M соответственно, а стороны BC – в точке N. Известно, что середина P отрезка KM лежит на описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что точки O, N и I лежат на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ] [ Неравенство Коши ] [ Средние величины ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан неправильный многоугольник. Если вершина A разбивает дугу, заключенную между двумя другими вершинами, на две неравные части, то такая вершина A называется неустойчивой. Каждую секунду какая-нибудь неустойчивая вершина перепрыгивает в середину своей дуги. В результате каждую секунду образуется новый многоугольник. Докажите, что сколько бы секунд ни прошло, многоугольник никогда не будет равным исходному.

Решение

Рассмотрим длины дуг между соседними точками. В силу неравенства  a² + b² > (^a+b/₂)²  (при  a ≠ b)  сумма квадратов этих дуг каждую секунду уменьшается. Следовательно, многоугольник никогда не станет таким же, как был.

Замечания

Дисперсия набора длин дуг также уменьшается.

Источники и прецеденты использования