На трёх отрезках OA, OB и OC одинаковой длины (точка B лежит внутри угла AOC) как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O, равна половине площади (обычного) треугольника ABC.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Трапеции (прочее) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Бумажный прямоугольный треугольник перегнули по прямой так, что вершина прямого угла совместилась с другой вершиной.
  а) В каком отношении делятся диагонали полученного четырёхугольника их точкой пересечения?
  б) Полученный четырёхугольник разрезали по диагонали, выходящей из третьей вершины исходного треугольника. Найти площадь наименьшего образовавшегося куска бумаги.

Решение

  a) Треугольник ABC перегнули, очевидно, по средней линии DE (см. рис.). Поэтому "диагонали" CE и BD были его медианами. Значит,
BO : OD = CO : OE = 2 : 1.

  б) После разреза образуется три куска. Два из них – треугольники DOC и BCD, третий составлен из треугольников DOE и BDE (после разворачивания он тоже превратится в треугольник). Наименьшая площадь у треугольника OCD (он является частью треугольника BCD, а также частью треугольника CDE, равновеликого треугольнику BDE). Поскольку  OD = ⅓ BD,  то  S_OCD = ⅓ S_BCD = ⅙ S_BCA.

Ответ

a)  2 : 1;   б)  ⅙.

Замечания

баллы: 2 + 2

Источники и прецеденты использования