Задача 111698

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Площади криволинейных фигур ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На трёх отрезках OA, OB и OC одинаковой длины (точка B лежит внутри угла AOC) как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O, равна половине площади (обычного) треугольника ABC.

Решение

Пусть окружности, построенные как на диаметрах на боковых сторонах OA и OB равнобедренного треугольника AOB, пересекаются в точке C₁. Тогда  ∠AC₁O = ∠BC₁O = 90°,  значит, точка C₁ – середина отрезка AB треугольника ABC. Аналогично, точка A₁ пересечения окружностей с диаметрами OB и OC – середина отрезка BC, а точка B₁ пересечения окружностей с диаметрами OA и OC – середина отрезка AC. Следовательно, четырёхугольник BA₁B₁C₁ – параллелограмм. Сегмент окружности с диаметром OB, отсекаемый хордой BC₁, равен соответствующему сегменту окружности с диаметром  OC = OB,  отсекаемому хордой  A₁B₁ = BC₁.  Аналогично сегмент окружности с диаметром OB, отсекаемый хордой BA₁, равен соответствующему сегменту окружности с диаметром  OA = OB,  отсекаемому хордой  B₁C₁ = BA₁.  Следовательно, криволинейный треугольник, о котором говорится в условии задачи, равновелик параллелограмму BA₁B₁C₁, площадь которого равна половине площади треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2892