В комнате 12 человек; некоторые из них честные, то есть всегда говорят правду, остальные всегда лгут. "Здесь нет ни одного честного человека", - сказал первый. "Здесь не более одного честного человека", - сказал второй. Третий сказал, что честных не более двух, четвёртый - что не более трёх, и так далее до двенадцатого, который сказал, что честных людей не более одиннадцати. Сколько честных людей в комнате на самом деле?

   Решение

Тема:    [ Точка Лемуана ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Через точку X, лежащую внутри треугольника ABC, проведены три отрезка, антипараллельных его сторонам. Докажите, что эти отрезки равны тогда и только тогда, когда X — точка Лемуана.

Решение

Пусть  B₁C₁, C₂A₂ и A₃B₃ — данные отрезки. Тогда треугольники  A₂XA₃, B₁XB₃ и C₁XC₂ равнобедренные; пусть длины их боковых сторон равны a, b и c. Прямая AX делит отрезок B₁C₁ пополам тогда и только тогда, когда эта прямая содержит симедиану. Поэтому если X — точка Лемуана, то a = b, b = c и c = a. А если  B₁C₁ = C₂A₂ = A₃B₃, то  b + c = c + a = a + b, а значит, a = b = c.

Источники и прецеденты использования