Версия для печати
Убрать все задачи

---

AB и A₁B₁ — два скрещивающихся отрезка. O и O₁ — соответственно их середины. Докажите, что отрезок OO₁ меньше полусуммы отрезков AA₁ и BB₁.

   Решение

---

Один из четырёх углов, образующихся при пересечении двух прямых, равен 41°. Чему равны три остальных угла?

   Решение

---

Какое самое большое число ладей можно поставить на шахматную доску 8 на 8 так, чтобы они не били друг друга?

   Решение

Темы:    [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Какое наименьшее число клеток надо отметить на доске 15×15 так, чтобы слон с любой клетки доски бил не менее двух отмеченных клеток? (Слон бьёт и ту клетку, где стоит.)

Решение

  Удобнее решить задачу в общем виде: покажем, что на доске  (2n+1)×(2n+1)  (n > 1)  ответ 4n. (Рисунок соответствует случаю  n = 3.)
  Пример. Отметим клетки по периметру прямоугольника  (2n–1)×3,  как показано на рисунке. При этом на длинных диагоналях (из более чем  n + 1  клетки) отмечено по две клетки. Только четыре клетки доски (они закрашены на рисунке) не лежат на длинных диагоналях, но и для них требуемое условие выполнено.

  Оценка. Расставим 8n слонов во всех клетках по периметру доски. При этом каждая клетка доски бьётся не более чем четырьмя слонами. Поскольку каждый слон должен бить не менее двух отмеченных клеток, отметить придётся не менее  8n·2 : 4 = 4n   клеток.

Ответ

28 клеток.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования