В треугольнике ABC медианы AA' , BB' и CC' продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A0 , B0 и C0 соответственно. Известно, что точка M пересечения медиан треугольника ABC делит отрезок AA0 пополам. Докажите, что треугольник A0B0C0 – равнобедренный.

   Решение

Темы:    [ Окружность Аполлония ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Метод ГМТ ] [ Построения (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На прямой даны четыре точки A, B, C, D в указанном порядке. Постройте точку M, из которой отрезки AB, BC, CD видны под равными углами.

Решение

Пусть X — точка, не лежащая на прямой AB. Ясно, что  AXB = BXC тогда и только тогда, когда  AX : CX = AB : CB. Поэтому точка M является точкой пересечения ГМТ X, для которых  AX : CX = AB : CB, и ГМТ Y, для которых  BY : DY = BC : DC (эти ГМТ могут не пересекаться).

Источники и прецеденты использования