Задача 108210

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

В треугольнике ABC медианы AA' , BB' и CC' продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A0 , B0 и C0 соответственно. Известно, что точка M пересечения медиан треугольника ABC делит отрезок AA0 пополам. Докажите, что треугольник A0B0C0 – равнобедренный.

Подсказка

BMCA₀ — параллелограмм.

Решение

Медианы треугольника делятся их точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины треугольника, поэтому, если MA'=x , то AM=2x . По условию задачи MA0 = AM = 2x , поэтому
A'A0=MA0-MA' = 2x-x=x.
Значит, A' – середина отрезка MA0.
Диагонали четырёхугольника BMCA0 делятся точкой пересечения A' пополам, поэтому BMCA0 – параллелограмм. Его противоположные углы MCA0 и MBA0 равны. Тогда равны вписанные углы A0CC0 и A0BB0 . Первый из них опирается на дугу A0BC0 , а второй – на дугу A0CB0 . Значит, эти дуги равны. Но тогда равны и стягивющие их хорды A0C0 и A0B0 . Следовательно, треугольник A0B0C0 – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6557
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2004
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	04.4.10.2
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2004
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	04.4.9.2