Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?

   Решение

Темы:    [ Многоугольники (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Внутри окружности расположен равносторонний N-угольник. Каждую его сторону продлевают в обе стороны до пересечения с окружностью, получая по два новых отрезка, расположенных вне многоугольника. Затем некоторые из 2N полученных отрезков красятся в красный цвет, а остальные – в синий цвет. Докажите, что можно раскрасить эти отрезки так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась сумме длин синих.

Решение

Пусть каждая сторона  A_iA_i+1 = a  многоугольника A₁...A_N продолжена синим отрезком  A_iB_i = b_i  и красным отрезком  A_i+1C_i = c_i  (считаем, что
A_N+1 = A₁).  Хорды B₁C₁ и B₂C₂ пересекаются в точке A₂, значит,  c₁(a + b₁) = b₂(a + c₂),  то есть  (c₁ – b₂)a = b₂c₂ – b₁c₁.  Аналогично
(c₂ – b₃)a = b₃c₃ – b₂c₂  и т. д. Сложив все эти равенства, получим  (c₁ + ... + c_N – b₁ – ... – b_N)a = 0,  то есть  c₁ + ... + c_N = b₁ + ... + b_N.

Замечания

Баллы: 8-9 кл. – 9, 10-11 кл. – 8.

Источники и прецеденты использования