Дана таблица размером 8×8, изображающая шахматную доску. За каждый шаг разрешается поменять местами любые два столбца или любые две строки. Можно ли за несколько шагов сделать так, чтобы верхняя половина таблицы стала белой, а нижняя половина – чёрной?

   Решение

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и K соответственно так, что  S_KMC + S_KAC = S_ABC.
Докажите, что все такие прямые MK проходят через одну точку.

   Решение

Темы:    [ Куб ] [ Свойства сечений ] [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Некоторый куб рассекли плоскостью так, что в сечении получился пятиугольник.
Докажите, что длина одной из сторон этого пятиугольника отличается от 1 метра по крайней мере на 20 сантиметров.

Решение

  Стороны пятиугольника лежат в пяти гранях куба. Среди этих пяти граней есть две пары параллельных. Поэтому параллельны и соответствующие стороны пятиугольника. Это значит, что пятиугольник получается из некоторого параллелограмма ABCD срезанием одного из его углов (например, отрезанием треугольника DEF).
  Предположим, что длины всех сторон пятиугольника находятся в пределах от 80 до 120 см. Тогда то же верно и для параллелограмма ABCD. Поэтому длины отрезков ED и DF не превышают 40 см. Это, однако, противоречит неравенству треугольника:  ED + DF ≤ 80 ≤ EF.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования