Информация о задаче

Задача 57585

Тема:

[

Теорема синусов

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что

$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a+b}{c}=\cos\frac{\alpha -\beta }{2} }\right.$ $\displaystyle {\frac{a+b}{c}}$ = cos $\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a+b}{c}=\cos\frac{\alpha -\beta }{2} }\right/$ sin $\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$ , и $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-b}{c}= \sin\frac{\alpha -\beta }{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a-b}{c}}$ = sin $\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-b}{c}= \sin\frac{\alpha -\beta }{2}}\right/$ cos $\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$ .

Решение

По теореме синусов (a + b)/c = (sin $\alpha$ + sin $\beta$ )/sin $\gamma$ . Кроме того, sin $\alpha$ + sin $\beta$ = 2 sin(( $\alpha$ + $\beta$ )/2)cos(( $\alpha$ - $\beta$ )/2) = 2 cos( $\gamma$ /2)cos(( $\alpha$ - $\beta$ )/2) и sin $\gamma$ = 2 sin( $\gamma$ /2)cos( $\gamma$ /2). Второе равенство доказывается аналогично.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	1
Название	Теорема синусов
Тема	Теорема синусов
задача
Номер	12.004