На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:

• некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку;
• некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.

   Решение

В треугольнике ABC точка X лежит на стороне AB, а точка Y – на стороне BC. Отрезки AY и CX пересекаются в точке Z. Известно, что  AY = CY  и
AB = CZ.  Докажите, что точки B, X, Z и Y лежат на одной окружности.

   Решение

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Шестиугольники ] [ Итерации ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Последовательности и ряды функций ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точки A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ делят окружность радиуса 1 на шесть равных частей. Из A₁ провёден луч l₁ в направлении A₂, из A₂ – луч l₂ в направлении A₃, ..., из A₆ – луч l₆ в направлении A₁. Из точки B₁, взятой на луче l₁, опускается перпендикуляр на луч l₆, из основания этого перпендикуляра опускается перпендикуляр на l₅ и т. д. Основание шестого перпендикуляра совпало с B₁. Найти отрезок B₁A₁.

Решение

Пусть B₂, B₃, ..., B₇ – основания перпендикуляров, опущенных на l₆, l₅, ..., l₁. Длина каждого отрезка в последовательности A₁B₁, A₆B₂, A₅B₃, ..., A₁B₇ равна половине длины предыдущего плюс 1. Поэтому, если  A₁B₁ > 2,  длины отрезков в этой последовательности возрастают, а если  A₁B₁ < 2,  – убывают. По условию  A₁B₁ = A₁B₇,  поэтому  A₁B₁ = 2.

Ответ

B₁A₁ = 2.

Замечания

Общий случай см. в задаче 78092.

Источники и прецеденты использования