Задача 78092

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Итерации ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Условие

На продолжениях сторон A₁A₂, A₂A₃, ..., A_nA₁ правильного n-угольника (n ≥ 5) A₁A₂...A_n построить точки B₁, B₂, ..., B_n так, чтобы B₁B₂ было перпендикулярно к A₁A₂, B₂B₃ перпендикулярно к A₂A₃, ..., B_nB₁ перпендикулярно к A_nA₁.

Решение

Пусть  x_k = A_k+1B_k,  α — внешний угол правильного n-угольника, a — длина его стороны. Тогда  x₁ = (a + x₂) cos α,  x₂ = (a + x₃) cos α,  ...,
x_n = (a + x₁) cos α.  Тогда  x₁ = a₁ + b₁x₂ = a₂ + b₂x₃ = ... = a_n + b_nx₁,  где  b_n = (cos α)ⁿ ≠ 1.  Поэтому x₁ (а также и x_k для любого k) определено однозначно. Ясно также, что мы получим решение, если положим  x₁ = x₂ = ... = x_n = x,  где  x = (a + x) cos α,  то есть  

Замечания

Ср. с задачей 78077.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	19
Год	1956
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	5