На диагонали BD параллелограмма ABCD взята точка K. Прямая AK пересекает прямые BC и CD в точках L и M. Докажите, что  AK² = LK·KM.

   Решение

Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC' и AB'C. Точка M делит сторону BC в отношении BM : MC = 3 : 1; K и L — середины сторон AC' и B'C. Докажите, что углы треугольника KLM равны  30^o, 60^o и  90^o.

Решение

Пусть = 4a, = 4b. Пусть, далее, R — поворот, переводящий вектор в  (а значит, вектор  — в  ). Тогда = (a + b) - 2Rb и  = - 2Rb + 4b + 2Ra. Легко проверить, что b + R²b = Rb. Поэтому 2R() = , а из этого соотношения вытекает требуемое.

Источники и прецеденты использования