У Пети есть 8 монет, про которые он знает только, что 7 из них настоящие и весят одинаково, а одна фальшивая и отличается от настоящей по весу, неизвестно в какую сторону. У Васи есть чашечные весы – они показывают, какая чашка тяжелее, но не показывают, насколько. За каждое взвешивание Петя платит Васе (до взвешивания) одну монету из имеющихся у него. Если уплачена настоящая монета, Вася сообщит Пете верный результат взвешивания, а если фальшивая, то случайный. Петя хочет определить 5 настоящих монет и не отдать ни одну из этих монет Васе. Может ли Петя гарантированно этого добиться?

   Решение

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены подобные равнобедренные треугольники AB₁С и AC₁B внешним образом и BA₁C внутренним образом. Докажите, что AB₁A₁C₁ – параллелограмм.

Решение

Так как  BA : BC = BC₁ : BA₁  и  ∠ABC = ∠C₁BA₁,  то треугольники ABC и C₁BA₁ подобны. Аналогично подобны треугольники ABC и B₁A₁C. А так как
BA₁ = A₁C,  то треугольники C₁BA₁ и B₁A₁C равны. Следовательно,  AC₁ = C₁B = B₁A₁  и  AB₁ = B₁C = C₁A₁.  Ясно также, что четырёхугольник AB₁A₁C₁ выпуклый.

Источники и прецеденты использования