Среди 11 внешне одинаковых монет 10 настоящих, весящих по 20 г, и одна фальшивая, весящая 21 г. Имеются чашечные весы, которые оказываются в равновесии, если груз на правой их чашке ровно вдвое тяжелее, чем на левой. (Если груз на правой чашке меньше, чем удвоенный груз на левой, то перевешивает левая чашка, если больше, то правая.) Как за три взвешивания на этих весах найти фальшивую монету?

   Решение

Тема:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при n ≠ 4 правильный n-угольник нельзя расположить так, чтобы его вершины оказались в узлах целочисленной решетки.

Решение

Для n = 3 и n = 6 утверждение вытекает из предыдущей задачи, поэтому будем в дальнейшем считать, что n ≠ 3, 4, 6. Предположим, что существуют правильные n-угольники с вершинами в узлах целочисленной решетки (n ≠ 3, 4, 6). Среди всех таких n-угольников можно выбрать тот, у которого длина стороны наименьшая. (Для доказательства достаточно заметить, что если a — длина отрезка с концами в узлах решетки, то a = , где n и m — целые числа, поэтому длина отрезка с концами в узлах решетки может принимать лишь конечное число различных значений, меньших данного.) Пусть = . Тогда B₁...B_n — правильный n-угольник, вершины которого лежат в узлах целочисленной решетки, а его сторона меньше стороны n-угольника A₁...A_n. Для n = 5 и для n7 это видно из рисунков. Получено противоречие с выбором n-угольника

Источники и прецеденты использования