Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.

   Решение

Тема:    [ Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку ]

Сложность: 6 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников A₁B₁C₁, A₁B₂C₂, A₂B₁C₂, A₂B₂C₁, проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников A₂B₂C₂, A₂B₁C₁, A₁B₂C₁, A₁B₁C₂, проходят через одну точку.

Решение

После инверсии с центром в точке пересечения описанных окружностей треугольников A₁B₁C₁, A₁B₂C₂, A₂B₁C₂ и A₂B₂C₁ мы получим четыре прямые и четыре окружности, описанные около образованных этими прямыми треугольников. Согласно задаче 2.83, а) эти окружности проходят через одну точку.

Источники и прецеденты использования