Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка M так, что точка пересечения медиан треугольника ABM лежит на описанной окружности треугольника ACM , а точка пересечения медиан треугольника ACM лежит на описанной окружности треугольника ABM . Докажите, что медианы треугольников ABM и ACM из вершины M равны.

   Решение

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и сумме двух других сторон.

Решение

  Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть  BC = a  – данная сторона,  ∠A = α  – данный угол,  AB + AC = d – данная сумма сторон.
  На продолжении стороны BA за точку A отложим отрезок AD, равный AC. Тогда  BD = d,  треугольник DAC – равнобедренный. Поэтому
∠BDC = ½ ∠BAC = ^α/₂.

  Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим отрезок BD, равный d. От луча DB откладываем угол, равный ^α/₂. С центром в точке B проводим окружность радиуса a. Точка пересечения этой окружности с проведённым ранее лучом (таких точек может быть две) есть искомая вершина C. Пересечение серединного перпендикуляра к отрезку DC с прямой BD даёт искомую вершину A.

Источники и прецеденты использования