Углы треугольника ABC удовлетворяют соотношению  sin²A + sin²B + sin²C = 1.
Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.

   Решение

Тема:    [ Переведем данную прямую на бесконечность ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Известно, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке O, и прямые AB₁, BC₁ и CA₁ пересекаются в одной точке O₁. Докажите, что прямые AC₁, BA₁ и CB₁ тоже пересекаются в одной точке O₂ (теорема о дважды перспективных треугольниках).

Решение

Эта задача является переформулировкой предыдущей. Действительно, предположим, что пара прямых OO₁ и OB разделяет пару прямых OA и OC, а пара прямых O₁O и O₁B разделяет пару прямых O₁A и O₁C (остальные способы расположения этих прямых разберите самостоятельно аналогично этому). Тогда если точки A₁, B, B₁, C₁, O, O₁ и точку пересечения прямых AB₁ и CC₁ переобозначить соответственно D, R, L, K, Q, P и B, то из предыдущей задачи следует, что нужные прямые проходят через точку M.

Источники и прецеденты использования