ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57004
Темы:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Взаимное расположение двух окружностей ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Углы треугольника ABC удовлетворяют соотношению  sin²A + sin²B + sin²C = 1.
Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.


Решение

  Из условия следует, что  cos²A + cos²B + cos²C = 2.  Из задачи 57622 б) видим, что  cos A cos B cos C = – ½.
  Пусть H – ортоцентр, K – середина стороны BC, O и J – центры описанной окружности и окружности девяти точек, R – радиус описанной окружности, тогда радиус окружности девяти точек равен R/2.
  Согласно задаче 57694  OH² = R²(1 – 8 cos A cos B cos C) = 5R².  Из задачи 108006 следует, что  OJ² = ¼ OH² = R2 + (R/2)²,  то есть квадрат расстояния между центрами двух окружностей равен сумме квадратов их радиусов. Это и значит, что окружности пересекаются под прямым углом.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 14
Название Задачи для самостоятельного решения
задача
Номер 05.145

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .