В шахматном турнире на звание мастера спорта участвовало 12 человек, каждый сыграл с каждым по одной партии. За победу в партии даётся 1 очко, за ничью – 0,5 очка, за поражение – 0 очков. По итогам турнира звание мастера спорта присваивали, если участник набрал более 70% от числа очков, получаемых в случае выигрыша всех партий. Могли ли получить звание мастера спорта
  а) 7 участников;
  б) 8 участников?

   Решение

Тема:    [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 6 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый четырехугольник ABCD;  A₁, B₁, C₁ и D₁ — центры описанных окружностей треугольников  BCD, CDA, DAB и ABC. Аналогично для четырехугольника  A₁B₁C₁D₁ определяются точки  A₂, B₂, C₂ и D₂. Докажите, что четырехугольники ABCD и  A₂B₂C₂D₂ подобны, причем коэффициент их подобия равен  |(ctgA + ctgC)(ctgB + ctgD)/4|.

Решение

Точки C₁ и D₁ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB, поэтому  AB C₁D₁. Аналогично  C₁D₁ A₂B₂, а значит,  AB| A₂B₂. Аналогично доказывается, что параллельны и остальные соответственные стороны и диагонали четырехугольников ABCD и  A₂B₂C₂D₂. Следовательно, эти четырехугольники подобны.
Пусть M — середина отрезка AC. Тогда  B₁M = | AMctgD| и  D₁M = | AMctgB|, причем  B₁D₁ = | ctgB + ctgD| ^. AC/2. Повернем четырехугольник  A₁B₁C₁D₁ на  90^o. Тогда, воспользовавшись результатом задачи 6.25, получим, что этот четырехугольник выпуклый, причем  ctgA = - ctgC₁ и т. д. Поэтому A₂C₂ = | ctgA+ctgC| ^. B₁D₁/2 = |(ctgA+ctgC)(ctgB+ctgD)/4| ^. AC.

Источники и прецеденты использования