Задача 57036

Темы:    [ Подобные фигуры ] [ Четырехугольники (прочее) ] [ Преобразования подобия (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10

Условие

Четырехугольник ABCD выпуклый; точки  A₁, B₁, C₁ и D₁ таковы, что  AB||C₁D₁, AC||B₁D₁ и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырехугольник  A₁B₁C₁D₁ тоже выпуклый, причем  A + C₁ = 180^o.

Решение

Любой четырехугольник с точностью до подобия определяется направлениями своих сторон и диагоналей (см. задачу 57035), поэтому достаточно построить один пример четырехугольника  A₁B₁C₁D₁ с требуемыми направлениями сторон и диагоналей. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. На луче OA возьмем произвольную точку D₁ и проведем  D₁A₁||BC, A₁B₁||CD и  B₁C₁||DA (см. рис.). Так как  OC₁ : OB₁ = OD : OA, OB₁ : OA₁ = OC : OD и  OA₁ : OD₁ = OB : OC, то  OC₁ : OD₁ = OB : OA, а значит,  C₁D₁||AB. Из полученного рисунка ясно, что  A + C₁ = 180^o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	2
Название	Четырехугольники
Тема	Четырехугольники (прочее)
задача
Номер	06.025