Условие
Четырехугольник
ABCD выпуклый; точки
A1,
B1,
C1
и
D1 таковы, что
AB||
C1D1,
AC||
B1D1 и т. д. для всех
пар вершин. Докажите, что четырехугольник
A1B1C1D1 тоже
выпуклый, причем
A +
C1 = 180
o.
Решение
Любой четырехугольник с точностью до подобия определяется
направлениями своих сторон и диагоналей (см. задачу
57035), поэтому достаточно построить
один пример четырехугольника
A1B1C1D1 с требуемыми направлениями
сторон и диагоналей. Пусть
O — точка пересечения диагоналей
AC
и
BD. На луче
OA возьмем произвольную точку
D1 и
проведем
D1A1||
BC,
A1B1||
CD и
B1C1||
DA (см. рис.). Так
как
OC1 :
OB1 =
OD :
OA,
OB1 :
OA1 =
OC :
OD
и
OA1 :
OD1 =
OB :
OC, то
OC1 :
OD1 =
OB :
OA,
а значит,
C1D1||
AB. Из полученного рисунка ясно, что
A +
C1 = 180
o.
Источники и прецеденты использования
