Гидры состоят из голов и шей (каждая шея соединяет ровно две головы). Одним ударом меча можно снести все шеи, выходящие из какой-то головы A гидры. Но при этом из головы A мгновенно вырастает по одной шее во все головы, с которыми A не была соединена. Геракл побеждает гидру, если ему удастся разрубить её на две несвязанные шеями части. Найдите наименьшее N, при котором Геракл сможет победить любую стошеюю гидру, нанеся не более чем N ударов.

   Решение

Темы:    [ Неравенства с трехгранными углами ] [ Пирамида (прочее) ] [ Неравенства с углами ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны две треугольные пирамиды ABCD и A'BCD с общим основанием BCD, причем точка A' лежит внутри пирамиды ABCD. Доказать, что сумма плоских углов при вершине A' пирамиды A'BCD больше суммы плоских углов при вершине A пирамиды ABCD.

Решение

Докажем сначала требуемое утверждение в случае, когда точка A' лежит на ребре AB. Ясно, что BA'C = BAC + ACA' и BA'D = BAD + ADA'. Поэтому требуемое неравенство можно преобразовать к виду ACA' + CA'D + ADA' > CAD. Учитывая, что CA'D = 180^o - A'CD - A'DC и CAD = 180^o - ACD - ADC, переходим к неравенству ACA' + ACD + ADC + ADA' > A'CD + A'DC. Это неравенство следует из хорошо известных неравенств для трёхгранных углов: ACA' + ACD > A'CD и ADC + ADA' > A'DC. Теперь требуемое неравенство легко доказывается и в общем случае. Для этого сначала рассмотрим точку A₁, в которой плоскость A'CD пересекает ребро AB. Затем рассмотрим точку A₂, к которой прямая CA' пересекает отрезок A₁D. Применив последовательно доказанное неравенство к точкам A₁, A₂ и A', получим требуемое.

Источники и прецеденты использования