Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки C₁ и A₁, отличные от вершин. Пусть K – середина A₁C₁, а I – центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Оказалось, что четырёхугольник A₁BC₁I вписанный. Докажите, что угол AKC тупой.

   Решение

Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Тригонометрия (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.

Решение

Тангенс угла между стороной треугольника и любой из координатных осей рационален. Углы треугольника являются суммами или разностями таких углов и, следовательно, также имеют рациональные тангенсы.

Источники и прецеденты использования