|
|
 |
Условие
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки C1 и A1, отличные от вершин. Пусть K – середина A1C1, а I – центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Оказалось, что четырёхугольник A1BC1I вписанный. Докажите, что угол AKC тупой.
Решение
Пусть M – середина AC, а A2, B2 и C2 – точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами BC, AC и AB.
∠A1IC1 = 180° – ∠B = ∠A2IC2. Отсюда следует, что прямоугольные треугольники A1A2I и C1C2I равны (по катету и острому углу), причём один из них находится внутри четырёхугольника BA2IC2, а второй – снаружи. Отсюда AC1 + CA1 = AC2 + CA2 = AB2 + CB2 = AC.
Построим параллелограммы AC1KD и CA1KE. Тогда ADCE – тоже параллелограмм (возможно, вырожденный) и M – его центр, то есть середина отрезка DE. Как известно, медиана меньше полусуммы соответствующих сторон (см. задачу 55150), то есть
KM < ½ (KD + KE) = ½ (AC1 + CA1) = ½ AC. Это значит, что точка K лежит внутри окружности с диаметром AC, поэтому угол AKC – тупой.
Замечания
8 баллов
