Версия для печати
Убрать все задачи

---

Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет построить многочлен R(x), который имеет те же корни, что и P(x), но все кратности 1. Положим  Q(x) = (P(x), P'(x))  и  R(x) = P(x)Q^–1(x).  Докажите, что
  а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);
  б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.

   Решение

---

Дана пирамида SA₁A₂...A_n, основание которой – выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. Для каждого  i = 1, 2, ..., n  в плоскости основания построили треугольник X_iA_iA_i+1, равный треугольнику SA_iA_i+1 и лежащий по ту же сторону от прямой A_iA_i+1, что и основание (мы полагаем  A_n+1 = A₁).  Докажите, что построенные треугольники покрывают всё основание.

   Решение

---

На плоскости расположено N точек. Отметим середины всевозможных отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее число отмеченных точек может получиться?

   Решение

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что из сторон произвольного четырёхугольника можно сложить трапецию.

Решение

Пусть аbсd. Покажем прежде всего, что можно построить треугольник со сторонами а - d, b, с. Для этого необходимо, чтобы выполнялись неравенства

Неравенство (1) равносильно неравенству

которое выполнено, так как а, b, с, d — стороны четырёхугольника (в многоугольнике каждая сторона меньше суммы всех остальных). Так как bа, с - d 0 (в силу наших предположений о числах а, b, с, d), то выполнено и неравенство (2). Аналогично, неравенство (3) следует из того, что са, b - d 0. Построив теперь треугольник со сторонами a - d, b, с, мы легко достроим его до трапеции со сторонами а, b, с, d: нужно продолжить сторону а - d на отрезок d (в любую сторону, например, за конец стороны с) и на отрезках c, d построить параллелограмм.

Источники и прецеденты использования