В параллели 7-х классов 100 учеников, некоторые из которых дружат друг с другом. 1 сентября они организовали несколько клубов, каждый из которых основали три ученика (у каждого клуба свои). Дальше каждый день в каждый клуб вступали те ученики, кто дружил хотя бы с тремя членами клуба. К 19 февраля в клубе «Гепарды» состояли все ученики параллели. Могло ли получиться так, что в клубе «Черепахи» в этот же день состояло ровно 50 учеников?

   Решение

Найдите корень уравнения log2(7+x) = 3 .

   Решение

Темы:    [ Комбинаторика (прочее) ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что среди некоторых десяти подряд стоящих сапог левых и правых поровну.

Решение

Обозначим через L_i число левых сапог из десяти, занимающих с i-го по (i+9)-е места. Тогда  L₁ + L₁₁ + L₂₁ = 15.  Если одно из чисел L₁, L₁₁, L₂₁ равно 5, то мы нашли искомую десятку. Иначе одно из них больше 5, а какое-то – меньше 5. Но L_{i + 1} может отличаться от L_i не более чем на 1. Значит,  L_k = 5  при некотором k. Это и даст искомую десятку.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования